27  L’analyse de données (ACP, ACM, ACF…)

27.1 Tâches concernées et recommandations

Vous souhaitez appliquer les méthodes classiques d’analyse de données, notamment l’analyse en composantes principales, l’analyse des correspondances multiples, l’analyse factorielle des correspondances…

Tâche concernée et recommandation

• Il est recommandé d’utiliser le package FactoMineR qui permet d’appliquer toutes les méthodes de façon simple et efficace, et dont la documentation existe en français.
• Il est également recommandé d’utiliser le package factoextra qui propose des fonctions utiles pour analyser les résultats.

27.2 Présentation des packages FactoMineR et factoextra

Le package FactoMineR (attention à la casse !) permet d’utiliser facilement les méthodes d’analyse de données classiques, notamment l’ACP, l’ACM, l’AFC, la CAH… Par chance, il existe de multiples ressources en français sur ce package car il a été développé par des chercheurs français (voir paragraphe Ressources).

Le package factoextra permet par ailleurs d’extraire, de manipuler et de visualiser les résultats des méthodes d’analyse de données. Deux points sont à noter :

• factoextra fonctionne également avec les autres packages d’analyse de données (stats, ade4, ExPosition) ;
• factoextra produit des graphiques construits avec le package ggplot2, qui peuvent donc être facilement personnalisés (titre, couleurs…) et exportés.

Cette fiche présente rapidement comment utiliser ces deux packages pour réaliser une analyse en composantes principales. Les fonctions de ces packages qui appliquent les autres méthodes ont une grammaire similaire, et sont présentées en détail (et en français !) dans la documentation.

27.3 L’ACP avec FactoMineR et factoextra

27.3.1 Etape 1 : réaliser l’ACP

Rappel rapide sur l’analyse en composantes principales : l’ACP est une méthode statistique qui permet d’explorer un jeu de données contenant des individus décrits par plusieurs variables quantitatives, pour lesquelles il est très difficile de visualiser les données dans un “hyper-espace” multidimensionnel. L’ACP est utilisée pour résumer le plus d’informations possibles en un nombre limité de nouvelles variables appelées composantes principales (deux ou trois). Ces composantes principales sont une combinaison linéaire des variables de départ, et peuvent être utilisées pour construire des représentations graphiques des donnes, en perdant le moins possible d’information.

library(FactoMineR)
library(factoextra)

Loading required package: ggplot2

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L’analyse en composantes principales est réalisée avec la commande PCA() de FactoMineR. Cette fonction produit une liste qui contient tous les résultats de l’ACP (valeurs propres, coordonnées…). On peut analyser la structure de cette liste avec la fonction str().

PCA(df, scale.unit = TRUE, ncp = 5, graph = TRUE)

Les arguments de la fonction PCA() sont les suivants :

• df : jeu de données de type data frame. Les lignes sont des individus et les colonnes sont des variables numériques ;
• scale.unit : une valeur logique. Si TRUE, les données sont standardisées/normalisées avant l’analyse ;
• ncp : nombre de dimensions conservées dans les résultats finaux ;
• graph : une valeur logique. Si TRUE, deux graphiques sont affichés : la projection des individus dans l’espace des individus, et la projection des variables dans l’espace des variables.

On va illustrer l’utilisation de ACP() avec le jeu de données decathlon2 du package factoextra, qui donne les performances d’un ensemble d’athlètes aux dix épreuves du décathlon.

data(decathlon2)
head(decathlon2)
# Garder les données pertinentes pour l'ACP
decathlon2_quant <- decathlon2[c(1:23), c(1:10)]

          X100m Long.jump Shot.put High.jump X400m X110m.hurdle Discus
SEBRLE    11.04      7.58    14.83      2.07 49.81        14.69  43.75
CLAY      10.76      7.40    14.26      1.86 49.37        14.05  50.72
BERNARD   11.02      7.23    14.25      1.92 48.93        14.99  40.87
YURKOV    11.34      7.09    15.19      2.10 50.42        15.31  46.26
ZSIVOCZKY 11.13      7.30    13.48      2.01 48.62        14.17  45.67
McMULLEN  10.83      7.31    13.76      2.13 49.91        14.38  44.41
          Pole.vault Javeline X1500m Rank Points Competition
SEBRLE          5.02    63.19  291.7    1   8217    Decastar
CLAY            4.92    60.15  301.5    2   8122    Decastar
BERNARD         5.32    62.77  280.1    4   8067    Decastar
YURKOV          4.72    63.44  276.4    5   8036    Decastar
ZSIVOCZKY       4.42    55.37  268.0    7   8004    Decastar
McMULLEN        4.42    56.37  285.1    8   7995    Decastar

On stocke dans resultats_acp les résultats de l’ACP. Il s’agit d’une liste, dont la structure peut être affichée avec la fonction str(resultats_acp).

resultats_acp <- PCA(decathlon2_quant, scale.unit = TRUE, ncp = 5, graph = FALSE)

27.3.2 Etape 2 : Exploiter les résultats de l’ACP avec factoextra

Les fonctions suivantes du package factoextra seront utilisées :

• get_eigenvalue() : extraire les valeurs propres ;
• fviz_eig() : visualiser les valeurs propres ;
• get_pca_ind(), get_pca_var() : extraire les résultats pour les individus et les variables, respectivement ;
• fviz_pca_ind(), fviz_pca_var() : visualiser les résultats des individus et des variables, respectivement ;
• fviz_pca_biplot() : créer un biplot des individus et des variables.

27.3.2.1 Analyse des valeurs propres

La fonction get_eigenvalue() extrait les valeurs propres de l’ACP, et la fonction fviz_eig() les représente graphiquement. Ces deux fonctions permettent de choisir rapidement le nombre de composantes principales que l’on souhaite retenir.

eig.val <- get_eigenvalue(resultats_acp)
eig.val

       eigenvalue variance.percent cumulative.variance.percent
Dim.1   4.1242133        41.242133                    41.24213
Dim.2   1.8385309        18.385309                    59.62744
Dim.3   1.2391403        12.391403                    72.01885
Dim.4   0.8194402         8.194402                    80.21325
Dim.5   0.7015528         7.015528                    87.22878
Dim.6   0.4228828         4.228828                    91.45760
Dim.7   0.3025817         3.025817                    94.48342
Dim.8   0.2744700         2.744700                    97.22812
Dim.9   0.1552169         1.552169                    98.78029
Dim.10  0.1219710         1.219710                   100.00000

fviz_eig(resultats_acp, addlabels = TRUE)

27.3.2.2 Analyse de la projection des variables

La fonction get_pca_var() permet de récupérer des informations sur les variables :

• var$coord : coordonnées des variables pour créer un nuage de points.
• var$cos2 : cosinus carré des coordonnées des variables. Cette variable mesure la qualité de représentation des variables sur le graphique de l’ACP (c’est-à-dire dans quelle mesure la variance de chaque variable se décompose selon les différentes composantes principales) ;
• var$contrib : contient les contributions (en pourcentage) des variables aux composantes principales.

var <- get_pca_var(resultats_acp)
var

Principal Component Analysis Results for variables
 ===================================================
  Name       Description                                    
1 "$coord"   "Coordinates for the variables"                
2 "$cor"     "Correlations between variables and dimensions"
3 "$cos2"    "Cos2 for the variables"                       
4 "$contrib" "contributions of the variables"               

On peut représenter facilement les variables sur le cercle de corrélation avec la fonction fviz_pca_var(). Par défaut cette fonction représente les deux premières dimensions, mais on peut choisir d’autres dimensions en précisant axes = c(i, j).

fviz_pca_var(resultats_acp)

fviz_pca_var(resultats_acp, axes = c(1, 3))

On peut représenter facilement la qualité de représentation des variables avec le package corrplot (somme en ligne sur toutes les dimensions = 1) :

library(corrplot)
corrplot(var$cos2, is.corr = FALSE)

corrplot 0.92 loaded

On peut également représenter facilement la contribution des variables aux composantes principales (somme en colonne sur toutes les variables = 100) :

corrplot(var$contrib, is.corr = FALSE)

La fonction fviz_contrib() permet de faire un graphique des contributions à une composante principale :

fviz_contrib(resultats_acp, choice = "var", axes = 1)

27.3.2.3 Analyse de la projection des individus

La fonction get_pca_ind() permet de récupérer des informations sur les individus : les coordonnées, la qualité de représentation et les contributions.

ind <- get_pca_ind(resultats_acp)
ind

Principal Component Analysis Results for individuals
 ===================================================
  Name       Description                       
1 "$coord"   "Coordinates for the individuals" 
2 "$cos2"    "Cos2 for the individuals"        
3 "$contrib" "contributions of the individuals"

On peut représenter facilement les individus sur le graphique des composantes principales avec la fonction fviz_pca_ind(). Par défaut cette fonction représente les deux premières dimensions, mais on peut choisir d’autres dimensions en précisant axes = c(i, j).

fviz_pca_ind(resultats_acp)

fviz_pca_ind(resultats_acp, col.ind = "cos2",
             gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"),
             repel = TRUE # Évite le chevauchement de texte
             )

La fonction fviz_contrib() permet de faire un graphique des contributions des individus à une composante principale :

fviz_contrib(resultats_acp, choice = "ind", axes = 1)

Enfin, la fonction fviz_pca_biplot() permet de réaliser un graphique représentant ensemble les variables et les individus. Dans ce graphique, un individu qui se trouve du même côté d’une variable donnée a une valeur élevée pour cette variable (et inversement).

fviz_pca_biplot(resultats_acp, repel = TRUE,
                col.var = "blue", # Couleur des variables
                col.ind = "red"  # Couleur des individues
                )

27.4 Pour en savoir plus

On trouve sur internet beaucoup de ressources sur le package FactoMineR :

• le site officiel du package FactoMineR (entièrement en français) ;
• un cours complet d’analyse de données avec FactoMineR (entièrement en français) ;
• les tutoriels de FactoMineR (entièrement en français) ;
• Les auteurs de FactoMineR ont écrit un livre sur les méthodes d’analyse de données (en anglais), avec des exemples utilisant le package.
• Une introduction à l’utilisation de factoextra pour visualiser les résultats (en anglais) ;
• Les auteurs de FactoMineR ont également développé un plugin pour faciliter l’utilisation du package.